На данной странице будут рассмотренны 5 логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация и эквивалентность, которых Вам будет достаточно для решения сложных логических выражений. Также мы рассмотрим порядок выполнения данных логических операций в сложных логических выражениях и представим таблицы истинности для каждой логической операции. Советуем Вам воспользоваться нашими программами для решения задач по математике, геометрии и теории вероятности. Помоми большого количества программ для решения задач на сайте работает форум, на котором Вы всегда можете задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!
Глоссарий, определения логики
Высказывание — это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).
Логические операции — мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.
Логическое выражение — устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).
Сложное логическое выражение — логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.
Логические операции и таблицы истинности
1) Логическое умножение или конъюнкция:
Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.
Таблица истинности для конъюнкции
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | ||
| 1 | ||
2) Логическое сложение или дизъюнкция:
Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Обозначение: F = A + B.
Таблица истинности для дизъюнкции
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | |
| 1 | 1 | |
3) Логическое отрицание или инверсия:
Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.
Таблица истинности для инверсии
| A | неА |
| 1 | |
| 1 |
4) Логическое следование или импликация:
Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.
Таблица истинности для импликации
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 1 |
document.write(showadvertisement_2());
5) Логическая равнозначность или эквивалентность:
Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.
Таблица истинности для эквивалентности
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | ||
| 1 | ||
| 1 |
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении
1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.
Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.
Логическое сложение или дизъюнкция:
Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Обозначение: F = A + B.
1) Логическое умножение или конъюнкция:
Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.
Таблица истинности для конъюнкции
2 Логическое сложение или дизъюнкция:
Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Обозначение: F = A + B.
Таблица истинности для дизъюнкции
28 Основные законы алгебры логики.
Вот как трактует логику толковый словарь: "Логика — наука, изучающая способы обоснования суждений, доказательства, мышления и логического вывода. В математической логике используются для этого методы алгебры или теории алгоритмов". "Алгебра логики (булева алгебра) — раздел математики, изучающий методы оперирования логическими (булевыми) переменными, принимающими только два значения — истина и ложь. Предложен английским математиком Джорджем Булем". Добавим только, что помимо манипуляций константами "да" и "нет" логические переменные могут являться результатом применения к числам операторов отношения (меньше, больше, равно и т.п.).
В компьютерах булевы переменные представляются (кодируются) битами (разрядами двоичной системы счисления), где 1 обычно означает истину, а 0 — ложь. Вот ещё одно достоинство двоичной системы счисления!
В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.
Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.
1. Закон противоречия:
2. Закон исключенного третьего:
3. Закон двойного отрицания:
4. Законы де Моргана:
5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.
6. Законы поглощения: A ∨ (A & B) = A; A & (A ∨ B) = A.
7. Законы исключения констант: A ∨ 1 = 1; A ∨ 0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B ∨ 1 = 1; B ∨ 0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.
8. Законы склеивания:
9. Закон контрапозиции: (A ⇔ B) = (B ⇔ A).
Для логических переменных справедливы и общематематические законы. Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных A, В и С:
1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ∨ B = B ∨ A.
2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C.
3. Дистрибутивный закон: A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C).
Основы логики, Джордж Буль, булева алгебра
Как уже отмечалось, с помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция ( & ), дизъюнкция (v), импликация (⇒), эквиваленция (⇔)
Выполним преобразование, например, логической функции
применив соответствующие законы алгебры логики.
