До сих пор нами рассматривались простейшие электрические цепи, состоящие из одного замкнутого неразветвленного контура. На всех его участках силы тока одинаковы. Расчет I, R, e в такой цепи выполняется с помощью законов Ома.
Рис.2.2.Разветвленная электрическая цепь. |
Более сложной является разветвленная электрическая цепь, состоящая из нескольких замкнутых контуров, имеющих общие участки. В каждом контуре может быть несколько источников тока. Силы тока на отдельных участках замкнутого контура могут быть различными по величине и направлению (рис.2.2). В 1847 г. Г.Кирхгоф сформулировал два правила, значительно упрощающих расчет разветвленных цепей.
Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю: . Узел — точка цепи, в которой сходятся не менее трех проводников. В электрической цепи на рис.2.2 имеются два узла А и В. Ток, входящий в узел, считается положительным, выходящий — отрицательным. Например, для узла А первое правило Кирхгофа следует записать .
Первое правило выражает закон сохранения электрического заряда, так как ни в одной точке цепи они не могут возникать или исчезать.
Второе правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру, выделенному в разветвленной цепи: алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления, включая и внутренние, на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, встречающихся в этом контуре . Контур ‑ это замкнутый участок схемы, по которому можно пройти и вернуться в исходную точку. Второе правило Кирхгофа получается из закона Ома, записанного для всех участков от узла до узла (ветвей) разветвленной схемы. В электрической цепи на рис.2.2 имеются три контура: AMNBA, CABDC, CMNDC. При этом, токи Ii в ветвях контура, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными, а направленные навстречу обхода — отрицательными. Э.д.с., проходимые от «+» к «-» считаются положительными и наоборот. В рассматриваемой электрической цепи (рис.2.2) выберем обход контуров по часовой стрелке и запишем для них уравнения по II правилу Кирхгофа: для AMNBА ; для CABDС ; для CMNDС . В данном примере внутренними сопротивлениями источников тока пренебрегаем. Первое и второе правила Кирхгофа позволяют составить систему линейных алгебраических уравнений, которые связывают параметры (I, R, ) и позволяют, зная одни, найти другие.
Простые электрические цепи имеют очень большое практическое применение. В повседневной жизни полезно знать, как подключить динамики или проигрыватель к стереосистеме, как подсоединить сигнализацию для охраны или автомобильный кассетный проигрыватель, как зарядить аккумуляторы или осветить новогоднюю елку.
Большинство электрических цепей содержит комбинацию последовательно или параллельно подключенных резисторов (резистор — это элемент цепи, обладающий только сопротивлением). Полное сопротивление участка цепи определяется отношением падения напряжения на нем к величине силы тока . При последовательном соединении (рис.2.3 а) через все резисторы течет один и тот же ток. При параллельном соединении (рис.2.3 б) полный ток равен сумме токов, текущих в отдельных резисторах.
При последовательном соединении падение напряжения на участке АВ равно , т.е. сумме падений напряжения на трех резисторах. Разделим обе части равенства на I и получим , т.е. . Таким образом, полное сопротивление участка цепи, состоящего из последовательно соединенных резисторов, равно их алгебраической сумме .
При параллельном соединении (рис..2.3 б) мы имеем . Разделим обе части равенства на U, где U — падение напряжения на участке цепи АВ, причем , и получим . Из этого равенства следует . Величина обратная полному сопротивлению параллельно соединенных резисторов равна алгебраической сумме величин их обратных сопротивлений .
В электрическую цепь может быть включено регулируемое (изменяющееся с помощью специального движка), сопротивление, которое называется реостатом. По назначению реостаты делятся на пусковые, служащие для ограничения силы тока во время пуска двигателей, и регулирующие — для регулировки силы тока в цепи (постепенное снижение освещенности в театральных залах), регулировки скорости вращения электродвигателей и т.д. Реостат может быть использован в качестве так называемого датчика перемещения. В автоматических регуляторах уровня жидкости в резервуарах применяется поплавково-реостатный датчик. Специальный поплавок крепится к движку реостата. Изменение уровня жидкости сдвигает поплавок, изменяет сопротивление реостата, и следовательно, силы тока в цепи, величина которого дает информацию об уровне.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8422 — | 8038 — или читать все.
Пра́вила Кирхго́фа (часто в технической литературе ошибочно называются Зако́нами Кирхго́фа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи.
Решения систем линейных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа, позволяют найти все токи и напряжения в электрических цепях постоянного, переменного и квазистационарного тока [1] .
Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей.
Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений и, соответственно, при решении этой системы найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.
Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле). Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в химии и физике.
Содержание
Формулировка правил [ править | править код ]
Определения [ править | править код ]
Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током, например, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи. Термин замкнутый путь означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.
В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.
Первое правило [ править | править код ]
Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.
∑ j = 1 n I j = 0. <displaystyle sum limits _^
Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда.
Второе правило [ править | править код ]
Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:
для постоянных напряжений ∑ k = 1 n E k = ∑ k = 1 m U k = ∑ k = 1 m R k I k ; <displaystyle sum _^
Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.
Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура. При этом падение напряжения на ветви считают положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, и отрицательным — в противном случае (см. далее).
Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.
Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений [ править | править код ]
Если цепь содержит p <displaystyle p> узлов, то она описывается p − 1 <displaystyle p-1> уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.
Если цепь содержит m <displaystyle m> ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве m i <displaystyle m_> , то она описывается m − m i − ( p − 1 ) <displaystyle m-m_-(p-1)> уравнениями напряжений.
- Правила Кирхгофа, записанные для p − 1 <displaystyle p-1>узлов или m − ( p − 1 ) <displaystyle m-(p-1)>контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
- Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
- положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
- положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
Пример [ править | править код ]
Количество узлов: 3.
p − 1 = 2 <displaystyle p-1=2>
Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.
m − m i − ( p − 1 ) = 2 <displaystyle m-m_-(p-1)=2>
Количество контуров: 2.
Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:
< I 1 − I 2 − I 6 = 0 I 2 − I 4 − I 3 = 0 <displaystyle <egin
Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.
Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.
В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:
< U 2 + U 4 − U 6 = 0 U 3 + U 5 − U 4 = 0 <displaystyle <egin
Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей. Такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.
О значении для электротехники [ править | править код ]
Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора, принцип суперпозиции, способ составления потенциальной диаграммы) решать задачи электротехники. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простоте формулировки уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера, методом Гаусса и др.).
Значение в математике [ править | править код ]
Первое правило Кирхгофа может быть сформулировано в матричном виде. Именно, пусть электрическая цепь состоит из n <displaystyle n> узлов. Составим матрицу A = < a i j >i , j = 1 n <displaystyle A=
eq j> есть проводимость ветви, соединяющеей узлы с номерами i <displaystyle i> и j <displaystyle j> (если они не соединены, можно мысленно соединить их ветвью нулевой проводимости). Величины a i i <displaystyle a_
i
eq j>^
i
eq j>^
i
eq j>^
ight)U_=0> , или же, учитывая определение диагональных элементов матрицы, как ∑ i = 1 n a i j U j = 0 <displaystyle sum _^
В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией на касательных векторах к поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как о римановой метрике g <displaystyle g> (отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств). Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функцией u <displaystyle u> на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будет оператор Лапласа — Бельтрами Δ g <displaystyle Delta _
В связи с этим матрицу A <displaystyle A> , сопоставляемую произвольному взвешенному графу, за исключением диагонали равную матрице смежности, иногда называют дискретным лапласианом. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций. Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основан интегратор Гершгорина, аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х — 70-х годах XX века.
В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об 1-форме d u <displaystyle du> . Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное поле g r a d g ( u ) <displaystyle mathrm
Закон излучения Кирхгофа [ править | править код ]
Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.
Закон Кирхгофа в химии [ править | править код ]
Закон Кирхгофа гласит — температурный коэффициент теплового эффекта химической реакции равен изменению теплоёмкости системы в ходе реакции.
Обобщенный закон Ома (см. формулу (3) п. 9.5) позволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников ЭДС и т. д.), довольно сложен. Задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа.
Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.
Первое правило Кирхгофа.
Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:
Например, для узла, изображенного на рис. 255, первое правило Кирхгофа запишется так:
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.
Второе правило Кирхгофа.
В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I. на сопротивление R. соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС %к, встречающихся в этом контуре:
При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:
1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи. Действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомая сила тока получится положительной, то направление тока было выбрано правильно, отрицательной — истинное направление тока противоположно выбранному.
- 2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться. Произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и наоборот. ЭДС считаются положительными, если создают токи, направление которых совпадает с выбранным направлением обхода.
- 3. Количество уравнений должно быть равно числу искомых величин, причем каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не встречающийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.