Векторная диаграмма разветвленной цепи переменного тока

Изучите материал по Л1.§4.1-4.14; Л2.§2.1-.2.9; Л3.§5.1-5.9.

Пример 4.1. Дана разветвлённая цепь переменного тока с активными и реактивными элементами. Используя заданные величины определить напряжение, приложенное к цепи, токи в ветвях, углы сдвига фаз, ток в цепи, активную, реактивную и полную мощности. Построить в масштабе векторную диаграмму. Из диаграммы определить ток всей цепи и угол сдвига фазы между током и напряжением.

Рис.	R₁ Ом	R₂ Ом	X₁ Ом	X₂ Ом	Дополнительный параметр.
4.22	I₁ = 6 A

1.Определим полные сопротивления ветвей:

2. Углы сдвига фаз между током и напряжением:

3.Напряжение на зажимах электрической цепи:

4. Ток второй ветви.

5.Активная, реактивная мощности ветвей и всей цепи:

Р₁ = I₁ 2 • R₁ = 6 2 · 8 = 288 Вт. P₂ = I₂ 2 · R₂ = 3 2 · 12 = 108 Вт. Р = Р₁ + Р₂ = 288 + 108 = 396 Вт

Q₁= I₁ 2 · X₁ = 6 2 · 6 = 216 вар. Q₂ = I₂ 2 · X₂ = 3 2 · (– 16) = – 144 вар Q = Q₁ + Q₂ = 216 – 144 = 72 вар.

6.Полная мощность всей цепи и ток в неразветвлённой части:

7.Угол сдвига фазы между током и напряжением:

8. Векторная диаграмма:

Ответ: U = 60 В. I = 6,71 А. I₁ = 6 А. I₂ = 3 А. φ₁ = 36,87º. φ₂ = – 53,13º.

Р = 396 Вт. Q = 72 вар. S = 402,5 ВА.

Задача 4.Дана разветвлённая цепь переменного тока с активными и реактивными элементами. Используя заданные величины определить напряжение, приложенное к цепи, токи в ветвях, углы сдвига фаз, ток в цепи, активную, реактивную и полную мощности. Построить в масштабе векторную диаграмму. Из диаграммы определить ток всей цепи и угол

сдвига фазы между током и напряжением. Данные выбрать из таблицы 4.1.

§ 71. Разветвленные цепи переменного тока

Пусть мы имеем векторную диаграмму, изображенную на рис. 159. Проектируя вектор тока I на направление вектора напряжения U, разложим вектор тока на две составляющие.

Рис. 159. Разложение тока на активную и реактивную составляющие

Одна из составляющих совпадает по направлению с вектором напряжений и называется активной составляющей тока. Она обозначается буквой I_а и равна

Другая составляющая, перпендикулярная вектору напряжения, называется реактивной составляющей тока. Она обозначается буквой I_р и равна

Таким образом, переменный ток I можно рассматривать как геометрическую сумму двух составляющих: активной I_а и реактивной I_р. Применение этого приема позволяет сравнительно просто производить расчеты разветвленных цепей переменного тока.

Рассмотрим разветвленную цепь, изображенную на рис. 160.

Рис. 160. Параллельное соединение ветвей r₁L₁ и r₂L₂

Углы сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях:

На рис. 160 справа построена векторная диаграмма для параллельного соединения ветвей r₁, L₁ и r₂, L₂. Построение диаграммы начинается с вектора напряжения, так как напряжение является общим для двух ветвей. Ввиду наличия r и L в каждой из ветвей токи I₁ и I₂ отстают по фазе от напряжения U на углы φ₁ и φ₂.

Построив векторы токов I₁ и I₂ и сложив их по правилу параллелограмма, получим вектор тока I, протекающего на общем участке цепи. Из построения диаграммы видно, что

Общий ток равен

Порядок расчета разветвленной цепи покажем на числовом примере.

Пример 11. Для цепи, показанной на рис. 160, дано:

Напряжение сети 127 в, частота 50 гц.

Определить токи в ветвях и на общем участке цепи.

Для определения общего тока предварительно находим активные и реактивные составляющие токов:

Рассмотрим параллельное соединение ветвей, содержащих I и С (рис. 161, а):

Рис. 161. Параллельное соединение ветвей L и С

полные сопротивления ветвей будут:

углы сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях:

Векторная диаграмма, показанная на том же чертеже б, начинается с построения вектора напряжения U. Затем под углами φ₁ и φ₂ строятся векторы токов I₁ и I₂. Следует заметить, что ток I₁ в ветви с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на угол φ₁, а ток I₂ в цепи с емкостью опережает по фазе напряжение на угол φ₂. Складывая векторы токов I₁ и I₂ по правилу параллелограмма, получаем вектор тока I.

Из построения векторной диаграммы видно, что активная составляющая общего тока равна сумме активных составляющих токов в обеих ветвях:

Реактивная составляющая общего тока равна разности реактивных составляющих — индуктивной I_р1 и емкостной I_р2:

Пример 12. Для цепи, представленной на рис. 161, дано: r₁ = 5 ом, L₁ = 0,05 гн, r₂ = 5 ом, С₂ = 100 мкф. Напряжение сети 220 в, частота 50 гц. Найти токи в ветвях и на общем участке цепи.

Если рассмотреть электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных источника переменного тока, резистора, индуктивности и конденсатора, где U – мгновенное значение переменного напряжения, а i – это ток в текущий момент времени, причем U изменяется по синусоидальному (косинусоидальному) закону, то для тока можно записать:

Согласно закону сохранения заряда, в любой момент времени ток в цепи имеет одно и то же значение. Следовательно на каждом элементе будет падать напряжение: UR– на активном сопротивлении, UC – на конденсаторе, и UL – на индуктивности. Согласно второму правилу Кирхгофа, напряжение источника будет равно сумме падений напряжений на элементах цепи, и мы имеем право записать:

Заметим, что согласно закону Ома I = U/R, и тогда U = I*R. Для активного сопротивления значение R определяется исключительно свойствами проводника, оно не зависит ни от тока, ни от момента времени, следовательно ток совпадает по фазе с напряжением, и можно записать:

А вот конденсатор в цепи переменного тока обладает реактивным емкостным сопротивлением, и напряжение на конденсаторе все время отстает по фазе от тока на π /2 , значит пишем:

Катушка, обладающая индуктивностью, в цепи переменного тока выступает реактивным индуктивным сопротивлением, и напряжение на катушке в любой момент времени опережает по фазе ток на π /2 , следовательно, для катушки запишем:

Можно записать теперь сумму падений напряжений, но в общем виде для приложенного к цепи напряжения можно записать:

Видно, что здесь имеет место некий сдвиг фаз, связанный с реактивной составляющей общего сопротивления цепи при протекании по ней переменного тока.

Поскольку в цепях переменного тока и ток и напряжение изменяются по закону косинуса, причем мгновенные значения отличаются между собой лишь фазой, то физики придумали в математических расчетах рассматривать токи и напряжения в цепях переменного тока как векторы, поскольку тригонометрические функции можно описать через векторы. Итак, запишем напряжения в виде векторов:

Используя метод векторных диаграмм, можно вывести, например, закон Ома для данной последовательной цепи в условиях протекания по ней переменного тока.

Согласно закону сохранения электрического заряда, в любой момент времени ток во всех частях данной цепи одинаков, так отложим же векторы токов, построим векторную диаграмму токов:

Пусть в направлении оси Х будет отложен ток Im – амплитудное значение тока в цепи. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, значит эти векторы будут сонаправленными, отложим их из одной точки.

Напряжение на конденсаторе отстает на π /2 от тока, следовательно откладываем его под прямым углом вниз, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении.

Напряжение на катушке опережает на π /2 ток, следовательно откладываем его под прямым углом вверх, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении. Допустим, что для нашего примера UL>UC.

Поскольку мы имеем дело с векторным уравнением, сложим векторы напряжений на реактивных элементах, и получим разницу. Она будет для нашего примера (мы приняли что UL>UC) направлена вверх.

Прибавим теперь вектор напряжения на активном сопротивлении, и получим, по правилу векторного сложения, вектор суммарного напряжения. Так как брали максимальные значения, то и получим вектор амплитудного значения общего напряжения.

Так как ток менялся по закону косинуса, то напряжение тоже меняется по закону косинуса, но со сдвигом фаз. Между током и напряжением есть постоянный сдвиг фаз.

Запишем закон Ома для общего сопротивления Z (импеданса):