Векторная диаграмма — способ изображения переменных напряжений и токов с помощью векторов.
Векторная диаграмма трехфазной системы ЭДС и график ЭДС фаз А, B и С:
Векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС:
Векторная диаграмма напряжений симметричной нагрузки, соединенной звездой:
Построение диаграммы напряжений симметричной нагрузки, соединенной звездой:
Векторная диаграмма токов активной несимметричной нагрузки, соединенной звездой:
Построение векторной диаграммы для несимметричной нагрузки при обрыве нейтрального провода:
Несимметричная нагрузка при обрыве нейтрального провода:
Построение диаграммы для несимметричной нагрузки. Звезда без нейтрального провода:
Векторная диаграмма симметричной нагрузки, соединенной звездой:
Векторные диаграммы напряжений и токов при соединении приемников треугольником:
Векторная диаграмма напряжений и токов при соединении приемников треугольником:
Векторная диаграмма напряжений и токов при соединении приемников треугольником (несимметричная нагрузка):
Векторная диаграмма напряжений и токов несимметричной нагрузки, соединенной треугольником:
Особенности включения трехфазных систем треугольником. При соединении трехфазных систем треугольником также используются три гармонических напряжения (4.1), которые были рассмотрены в лекции 15. Однако соединение этих источников выполняется таким образом, что начало одной фазы соединяется с концом другой. На рис. 4.5а показано такое включение трех обмоток генератора и соответствующее ему включение источников напряжения 
.
Векторная диаграмма для, соединения обмоток генератора по схеме треугольника приведена на рис. 4.5, б. На этой диаграмме полагается, что вектора напряжений генератора имеют значения
(4.1)
т. е. генератор считается симметричным с прямым чередованием фаз.
При соединении нагрузок треугольником фазные напряжения будут равны линейным, а линейные токи равны геометрической разности двух фазных токов, подходящих к вершине треугольника нагрузок, как показано на рис. 4.6. При этом для положительных направлений токов справедливы следующие соотношения, которые устанавливают связь между линейными и фазными токами
(4.2)
Фазные токи рассчитываются по известным линейным напряжениям 
и проводимостям YAB, YBC, YCA фаз приемников
(4.3)
Если падения напряжений на проводах линий передачи малы, то можно считать, что напряжения генератора равны соответствующим напряжениям приемника, т. е. 
.
Из уравнений (26.2) также следует, что при любых значениях фазных токов для линейных токов справедливо выражение
(4.4)
Следует отметить, что включение нагрузок по схеме треугольника возможно при любом включении обмоток генератора, как по схеме треугольника, так и по схеме звезды. Однако, при включении генератора по схеме звезды фазные напряжения приемника будут равны линейным напряжениям генератора. При этом нулевая точка генератора не используется.
Рассмотрим некоторые частные режимы работы при включении нагрузок по схеме треугольника. К таким режимам относятся:
□ равномерная нагрузка фаз генератора;
□ неравномерная нагрузка фаз генератора;
□ обрыв одной фазы приемника;
□ обрыв двух фаз приемника;
□ обрыв линейного провода.
Короткое замыкание любой фазы приемника приводит к аварийному режиму, так как при этом замыкается накоротко одна из обмоток генератора, и поэтому недопустимо.
Равномерная нагрузка фаз генератора.При симметричной системе напряжений генератора, определяемых уравнениями (4.1) и одинаковой нагрузке фаз приемника (YAB = YBC = YCA = Yn) действующие значения токов в фазах равны между собой, поэтому линейные токи связаны с фазными токами соотношением
(4.5)
Токи в фазах приемника определяются по формулам (4.3) и при равенстве проводимостей имеют значения
Векторная диаграмма для равномерной нагрузки фаз генератора приведена на рис. 4.7а.
Неравномерная нагрузка фаз генератора.Неравномерная нагрузка фаз генератора является наиболее распространенным режимом работы трехфазной системы. Неравномерная нагрузка характеризуется различными значениями проводимостей, включенных в приемнике, т. е. YAB = YBC = YCA. Действующие значения токов в фазах приемника при неравномерной нагрузке и симметричном генераторе пропорциональны проводимостям нагрузки и определяются по формулам (26.3).
Векторная диаграмма для неравномерной нагрузки фаз генератора приведена на рис. 4.7б. Линейные токи при неравномерной нагрузке фаз можно определить по формулам (4.2).
Обрыв одной фазы приемника. При обрыве одной фазы приемника ток в ней будет равен нулю. Токи в других фазах приемника не изменятся, так как не изменятся фазные напряжения.
В линейном проводе, не связанном с оборванной фазой, ток также не изменится. Линейные токи двух других фаз станут равными фазным токам.
Например, при обрыве фазы А-В приемника ток IAВ = 0, а токи других фаз не изменятся. Линейные токи в этом случае будут иметь следующие значения
. (4.7)
Векторная диаграмма обрыва фазы А-В приведена на рис. 4.7, в.
Обрыв двух фаз приемника. При обрыве двух фаз приемника ток в них будет равен нулю. Ток в неповрежденной фазе не изменится, так как напряжение на ней сохранится неизменным.
Ток в линейном проводе, подходящем к оборванным фазам, будет равен нулю. Токи в других линейных проводах станут равны фазным токам.
Так, например, при обрыве фаз А-В и В-С фазные токи IАВ = IBC = 0, а линейные токи примут значения
(4.8)
Векторная диаграмма токов и напряжений при обрыве двух фаз приемник приведена на рис. 4.7, г.
Обрыв линейного провода. При обрыве линейного провода трехфазная система превращается в однофазную. При этом напряжение и ток в фазе, не связанной с оборванным линейным проводом, останутся без изменений.
Две другие фазы, связанные с оборванным линейным проводом, оказываются соединенными последовательно и подключенными параллельно первой фазе.
Так, например, при обрыве линейного провода А фазы А-В и В-С будут включены последовательно и подключены параллельно фазе В-С, напряжение на которой равно UBC.
Токи в фазах определяются уравнениями
Векторная диаграмма токов и напряжений при обрыве линейного провода приведена на рис. 4.7, д.
Трехфазная система звезда — треугольник. Выше было сказано, что способ соединения обмоток генератора не предопределяет способ соединения нагрузок. Поэтому на практике к трехфазному генератору, включенному по схеме звезды, можно подключить нагрузку, соединенную по схеме треугольника. Схема подобного подключения приведена на рис. 4.8.
Из этой схемы следует, что каждое плечо треугольника оказывается включенным на линейное напряжение генератора; соединенного по схеме звезды. Поскольку линейное напряжение в 3 раза больше фазного, то токи в фазах симметричного приемника также вырастут в 3 раза. В общем случае их можно определить по формулам
(4.9)
При расчете от системы звезда-треугольник можно перейти к системе звезда-звезда. При таком преобразовании можно использовать эквивалентность схем звезды и треугольника, при которой сохраняются все напряжения и токи на внешних зажимах этих схем. Такое преобразование приводит в общем случае к эквивалентным сопротивлениям схемы звезды
(4.10)
Из уравнений (4.10) получим, что для симметричного треугольника с проводимостями YΔ можно найти сопротивления эквивалентной звезды
(4.11)
откуда следует, что сопротивления эквивалентной звезды для симметричной схемы в три раза меньше сопротивлений треугольника.
Следует отметить, что хотя в результате такого преобразования получается система звезда-звезда, ввести в нее нулевой провод нельзя, так как в реальной схеме этого соединения нет и при введении нулевого провода получается схема, отличная от исходной.
Пример 2. Требуется определить линейные токи в нагрузке, соединенной треугольником, которая подключена к симметричному трехфазному генератору с линейным напряжением Ел = 220 В. Сопротивления фаз приемника имеют значения: ZAB = ZBC = 50 Ом, ZCA = (30 + j40) Ом. Схема соединений генератора t нагрузкой приведена на рис. 4.9, а.
Решение. Приемник с такими нагрузками относится к разряду схем с неравномерной нагрузкой фаз генератора. Для определения линейных токов в такой схеме можно воспользоваться уравнениями (4.2), в которые входят фазные токи, определяемые по уравнениям (4.3). В связи с этим, определим вначале фазные токи, пользуясь уравнениями (4.3)
Далее с помощью формул (4.2) определим линейные токи
Сумма линейных токов в цепи
что подтверждает корректность решения. Векторная диаграмма токов и напряжений в схеме приведена на рис. 4.9б.
Соединение трехфазной цепи треугольником
При соединении обмоток генератора и приемников энергии треугольником конец предыдущей фазы соединяется с началом последующей, образуя замкнутую систему. К линейным проводам в этом случае подключаются узловые точки.
Схема соединения треугольник
Вектор фазного тока располагается рядом с вектором соответствующего фазного напряжения под углом ц. Последний определяется характером нагрузки. Если, например, нагрузка активная, то ц = 0о, а при индуктивной нагрузке ц = 90о.
Для построения векторов линейных токов из каждого фазного тока геометрически вычитают соседний. Нетрудно доказать, что в этом случае линейный ток равен:
Цепь трехфазного переменного тока состоит из трехфазного источника питания, трехфазного потребителя и проводников линии связи между ними.
Симметричный трехфазный источник питания можно представить в виде трех однофазных источников, работающих на одной частоте с одинаковым напряжением и имеющих временной угол сдвига фаз 120?. Эти источники могут соединяться звездой или треугольником.
При соединении звездой условные начала фаз используют для подключения трех линейных проводников A, B, C, а концы фаз объединяют в одну точку, называемую нейтральной точкой источника питания (трехфазного генератора или трансформатора). К этой точке может подключаться нейтральный провод N. Схема соединения фаз источника питания звездой приведена на рисунке 1, а.
Рис. 1. Схемы соединения фаз источника питания: а — звездой; б — треугольником
Напряжение между линейным и нейтральным проводами называется фазным, а между линейными проводами — линейным.
В комплексной форме записи выражения для фазных напряжений имеют вид:
Соответствующие им линейные напряжения при соединении звездой:
Здесь Uф — модуль фазного напряжения источника питания, а Uл — модуль линейного напряжения. В симметричной трёхфазной системе, при соединении фаз источника звездой, между этими напряжениями есть взаимосвязь:
При включении фаз треугольником фазные источники питания соединяют последовательно в замкнутый контур (рисунок 1, б).
Из точек объединения источников между собой выводятся три линейных провода A, B, C, идущие к нагрузке. Из рисунка 1, б видно, что выводы фазных источников подключены к линейным проводникам, а следовательно, при соединении фаз источника треугольником фазные напряжения равны линейным. Нейтральный провод в этом случае отсутствует.
К трехфазному источнику может подключаться нагрузка. По величине и характеру трёхфазная нагрузка бывает симметричной и несимметричной.
В случае симметричной нагрузки комплексные сопротивления всех трёх фаз одинаковы, а если эти сопротивления различны, то нагрузка несимметричная. Фазы нагрузки могут соединяться между собой звездой или треугольником (рисунок 2), независимо от схемы соединения источника.
Рис. 2. Схемы соединения фаз нагрузки
Соединение звездой может быть с нейтральным проводом (см. рисунок 2, а) и без него. Отсутствие нейтрального провода устраняет жёсткую привязку напряжения на нагрузке к напряжению источника питания, и в случае несимметричной нагрузки по фазам эти напряжения не равны между собой. Чтобы их отличить, условились в индексах буквенных обозначений напряжений и токов источника питания применять прописные буквы, а в параметрах, присущих нагрузке, — строчные.
Алгоритм анализа трёхфазной цепи зависит от схемы соединения нагрузки, исходных параметров и цели расчёта.
Для определения фазных напряжений при несимметричной нагрузке, соединённой звездой без нейтрального провода, используют метод двух узлов. В соответствии с этим методом расчёт начинают с определения напряжения UN между нейтральными точками источника питания и нагрузки, называемого напряжением смещения нейтрали:
где ya , yb , yc — полные проводимости соответствующих фаз нагрузки в комплексной форме
Напряжения на фазах несимметричной нагрузки находят из выражений:
В частном случае несимметрии нагрузки, когда при отсутствии нейтрального провода происходит короткое замыкание одной из фаз нагрузки, напряжение смещения нейтрали равно фазному напряжению источника питания той фазы, в которой произошло короткое замыкание.
Напряжение на замкнутой фазе нагрузки равно нулю, а на двух других оно численно равно линейному напряжению. Например, пусть произошло короткое замыкание в фазе В. Напряжение смещения нейтрали для этого случая UN = UB. Тогда фазные напряжения на нагрузке:
Фазные токи в нагрузке, они же и токи линейных проводов при любом характере нагрузки:
В задачах при проведении расчётов трёхфазных цепей рассматривают три варианта соединения трёхфазных потребителей звездой: соединение с нейтральным проводом при наличии потребителей в трёх фазах, соединение с нейтральным проводом при отсутствии потребителей в одной из фаз и соединение без нейтрального провода с коротким замыканием в одной из фаз нагрузки.
В первом и втором вариантах на фазах нагрузки находят соответствующие фазные напряжения источника питания и фазные токи в нагрузке определяются по приведенным выше формулам.
В третьем варианте напряжение на фазах нагрузки не равно фазному напряжению источника питания и определяется с помощью зависимостей
Токи, в двух незакороченных фазах, определяют по закону Ома, как частное от деления фазного напряжения на полное сопротивление соответствующей фазы. Ток в закороченной фазе определяют с помощью уравнения на основании первого закона Кирхгофа, составленного для нейтральной точки нагрузки.
Для рассмотренного выше примера с коротким замыканием фазы В:
При любом характере нагрузки трёхфазная активная и реактивная мощности равны соответственно сумме активных и реактивных мощностей отдельных фаз. Для определения этих мощностей фаз можно воспользоваться выражением
где Uф,Iф, — комплекс напряжения и сопряжённый комплекс тока на фазе нагрузки; Pф, Qф — активная и реактивная мощности в фазе нагрузки.
Трёхфазная активная мощность: P = Pа + Pb + Pс
Трёхфазная реактивная мощность: Q = Qа + Qb + Qс
Трёхфазная полная мощность:
При подключении потребителей треугольником схема приобретает вид, изображённый на рисунке 2, б. В этом режиме схема соединения фаз симметричного источника питания не играет роли.
На фазах нагрузки находят линейные напряжения источника питания. Фазные токи в нагрузке определяют с помощью закона Ома для участка цепи Iф = Uф/zф, где Uф — фазное напряжение на нагрузке (соответствующее линейное напряжение источника питания); zф — полное сопротивление соответствующей фазы нагрузки.
Токи в линейных проводах определяют через фазные на основании первого закона Кирхгофа для каждого узла (точки a,b,c) схемы, изображённой на рисунке 2, б:
