Запишите формулу периода колебаний физического маятника

Основные формулы

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной оси. Рассмотрим малые колебания маятника. Положение тела в любой момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия (рис. 2.1).

Запишем уравнение моментов относительно оси вращения OZ (ось OZ проходит через точку подвеса О перпендикулярно плоскости рисунка "от нас"), пренебрегая моментом сил трения, если известен момент инерции тела

Здесь — момент инерции маятника относительно оси OZ,

— угловая скорость вращения маятника,

M_z=- — момент силы тяжести относительно оси OZ,

a — расстояние от центра тяжести тела С до оси вращения.

Если считать, что при вращении, например, против часовой стрелки угол увеличивается, то момент силы тяжести вызывает уменьшение этого угла и, следовательно, при момент M_z

Сравнивая формулы (3) и (4), заключаем, что период колебаний физического маятника равен периоду колебаний математического маятника с длиной l, называемой приведенной длиной физического маятника:

Период колебаний физического маятника (а, следовательно, и его приведенная длина ) немонотонно зависит от расстояния . Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс: Тогда период колебаний будет равен:

Изменение периода колебаний при удалении оси вращения от центра масс O в обе стороны на расстояние а показано на рис. 2.2.

Кинематика колебаний маятника

Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса. Молоток, висящий на гвозде, весы, груз на веревке — все это колебательные системы, подобные маятнику стенных часов (рис. 2.3).

У всякой системы, способной совершать свободные колебания, имеется устойчивое положение равновесия. У маятника — это то положение, при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса. Если мы выведем маятник из этого положения или толкнем его, то он начнет колебаться, отклоняясь то в одну, то в другую сторону от положения равновесия. Наибольшее отклонение от положения равновесия, до которого доходит маятник, называется амплитудой колебаний. Амплитуда определяется тем первоначальным отклонением или толчком, которым маятник был приведен в движение. Это свойство — зависимость амплитуды от условий в начале движения — характерно не только для свободных колебаний маятника, но и вообще для свободных колебаний очень многих колебательных систем.

Если прикрепить к маятнику волосок — кусочек тонкой проволочки или упругой нейлоновой нити — и будем двигать под этим волоском закопченную стеклянную пластинку, как показано на рис. 2.3. Если двигать пластинку с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном к плоскости колебаний, то волосок прочертит на пластинке волнистую линию (рис. 2.4). Мы имеем в этом опыте простейший осциллограф — так называются приборы для записи колебаний. Кривые, которые записывает осциллограф, называются осциллограммами. Таким образом, рис. 2.2.3. представляет собой осциллограмму колебаний маятника. Амплитуда колебаний изображается на этой осциллограмме отрезком АВ, дающим наибольшее отклонение волнистой кривой от прямой линии ab, которую волосок прочертил бы на пластинке при неподвижном маятнике (покоящемся в положении равновесия). Период изображается отрезком CD, равным расстоянию, на которое передвигается пластинка за период маятника.

Запись колебаний маятника на закопченной пластинке

Осциллограмма колебаний маятника: АВ — амплитуда, CD — период

Так как мы двигаем закопченную пластинку равномерно, то всякое ее перемещение пропорционально времени, в течение которого оно совершалось. Мы можем сказать поэтому, что вдоль прямой аb в определенном масштабе (зависящем от скорости движения пластинки) отложено время. С другой стороны, в направлении, перпендикулярном к аb, волосок отмечает на пластинке расстояния конца маятника от его положения равновесия, т.е. путь, пройденный концом маятника от этого положения. Таким образом, осциллограмма есть не что иное, как график движения — график зависимости пути от времени.

Как мы знаем, наклон линии на таком графике изображает скорость движения. Через положение равновесия маятник проходит с наибольшей скоростью. Соответственно этому и наклон волнистой линии на рис. 2.2.3. наибольший в тех точках, где она пересекает прямую ab. Наоборот, в моменты наибольших отклонений скорость маятника равна нулю. Соответственно этому и волнистая линия на рис. 4 в тех точках, где она наиболее удалена от ab, имеет касательную, параллельную ab, т. е. наклон, равный нулю.

Физическим маятником называется твердое тело, находящееся в поле силы тяжести и имеющее горизонтальную ось вращения, не проходящую через центр тяжести тела.

Пусть — масса тела, J — его момент инерции относительно оси вращения — расстояние от центра тяжести до оси вращения (рис. 36). Выведенное из положения равновесия, тело будет вращаться либо совершать колебательное движение. В обоих случаях дифференциальное уравнение движения имеет один и тот же вид (силами трения пренебрегаем):

Пусть начальные условия таковы, что угол все время остается малым (максимальное отклонение от вертикали не превышает ). Тогда можно приближенно принять (в радианах) и рассматривать более простое уравнение:

или, что то же, уравнение

Это уравнение называется дифференциальным уравнением малых колебаний физического маятника. Из него следует, что малые колебания физического маятника являются гармоническими колебаниями частоты

Амплитуда и фаза колебаний будут определяться начальным отклонением и начальной угловой скоростью физического маятника.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется моментом количества движения материальной точки?

2. Что называется кинетическим моментом механической системы относительно данного центра, данной оси?

3. Приведите общие формулы для определения кинетического момента механической системы (относительно данного центра, данной оси).

4. Приведите математическую запись теоремы об изменении кинетического момента. Дайте словесную формулировку теоремы.

5. В каких случаях кинетический момент системы или его проекция на ось остаются постоянными при движении системы?

6. Какие координатные оси называются осями Кенига?

7. Приведите общую формулу для определения кинетического момента твердого тела относительно данного неподвижного центра?

8. Как вычисляется кинетический момент тела при его поступательном и вращательном движениях?

9. Как составляются дифференциальные уравнения движения тела при его поступательном движении? При вращении вокруг неподвижной оси? При плоскопараллельном движении?

10. Что называется физическим маятником? Как определяется период его малых колебаний?

Упражнения

1. Материальная точка М массы движется по окружности радиуса R согласно уравнению (рис. 37). Вычислить и построить количество движения и момент количества движения точки при .

2. Сплошной однородный диск массы и радиуса R вращается вокруг своей оси согласно уравнению . Найти кинетический момент диска относительно оси вращения.

3. Решить в указанном порядке следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 28.4; 37.1; 37.56; 37.43; 37.5; 37.6; 37.16.

6.11. Физический маятник

Твердое тело произвольной формы, свободно совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, называют физическим маятником .

Согласно определению, физический маятник при колебаниях имеет одну степень свободы, т.е. действительно является одномерным гармоническим классическим осциллятором (рис. 6.14, где точка 0 называется осью качаний, а точка 0 * — центром качания физического маятника, точка C — центр масс).

При гармонических колебаниях угол отклонения от положения равновесия q мал и составляет не более трех-пяти градусов, что позволяет в некоторых случаях полагать sin q » q (если угол q брать в радианах, а не в градусах), а сами колебания считать гармоническими и изохронными , т.е. их период или частота не зависят от амплитуды колебания.

Сначала напишем дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. Для этого рассмотрим, какие на него действуют силы. Силу трения в точке подвеса 0 (ось Z ) физического маятника не учитываем. На физический маятник при колебаниях действуют сила тяжести G и нормальная реакция опоры F (рис. 6.14). Для нахождения результирующей силы разложим силу тяжести на две взаимно перпендикулярные силы: G _^ = mg · sin q и G _{| |} = mg · cos q (рис. 6.14). Тогда силы нормальной реакции опоры и параллельная составляющая силы тяжести взаимно компенсируют друг друга (третий закон Ньютона). Поэтому силой, заставляющей физический маятник продолжать совершать гармонические колебания, остается перпендикулярная составляющая силы тяжести, которую часто называют возвращающей силой.

Такой же результат можно получить, если сложить вектор силы тяжести и вектор силы нормальной реакции опоры по правилу параллелограмма. (Представляем читателю выполнить эту операцию самостоятельно).

Из динамики вращательного движения ( 5.17 ) следует , что в этом случае на физический маятник (как любое твердое тело) действует момент силы М относительно оси Z, равный произведению момента инерции тела I на угловое ускорение e относительно этой же оси:

Момент силы М равен произведению составляющей силы тяжести G _^ на плечо ℓ :

.